PANGKAT PECAHAN

Pengertian Bilangan Berpangkat Pecahan

Bilangan yang terdiri dari bilangan real dan bilangan bulat misal jika a adalah bilangan real dan n bilangan bulat maka bilangan an atau an (dibaca a pangkat n) yang didefinisikan sebagai perkalian berulang a sebanyak n kali (faktor). Maka yang dimaksud bilangan berpangkat pecahan adalah bilangan bulat a yang berpangkat bilangan pecahan (a/n).  

Sifat-Sifat dan Rumus-Rumus Bilangan Berpangkat

• Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat Pecahan

Pada operasi perkalian bilangan berpangkat pecahan, berlaku sifat-sifat sebagai berikut, yaitu:

pp/q x ar/s = a(p/q + r/s)

• Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat Pecahan

Pada operasi pembagian bilangan berpangkat pecahan, berlaku sifat-sifat sebagai berikut, yaitu:

ap/q : ar/s = a(p/q – r/s)

• Sifat Perpangkatan Bilangan Berpangkat Pecahan

Apabila bilangan berpangkat pecahan dipangkatkan lagi baik itu dengan pangkat bilangan bulat ataupun dengan pangkat pecahan yang berlaku sifat berikut:

(ap/q)r = a(p/q) x r = a(pr/q) atau

(ap/q)r/s = a(p/q x r/s) = a(pr/qs)

4. Sifat Perpangkatan pada Bilangan Perkalian Bilangan Berpangkat Pecahan

Sifat-sifat perpangkatan pada perkalian bilangan berpangkat pecahan adalah sebagai berikut:

(a x b)p/q = ap/q x bp/q

5. Sifat Perpangkatan pada Pembagian Bilangan Berpangkat Pecahan

Sifat-sifat perpangkatan pada pembagian bilangan berpangkat pecahan adalah sebagai berikut:

(a : b)p/q = ap/q : bp/q

Cara Mengubah Pangkat Pecahan Negatif Menjadi Pangkat Pecahan Positif ataupun sebaliknya

Untuk mengubah suatu bilangan berpangkat pecahan negatif menjadi bilangan berpangkat positif ataupun itu sebaliknya, maka kita dapat menggunakan rumus yaitu sebagai berikut:

a-(m/n) = 1/a(m/n) atau a(m/n) = 1/a-(m/n)

Mengubah Bilangan Pangkat Pecahan Menjadi Akar

Bilangan pangkat biasa yang dapat riubah kedalam bentuk bilangan pangkat pecahan, bilangan pangkat pecahan pun juga bisa diubah menjadi bentuk bilangan pangkat akar, yaitu dengan menggunakan rumus-rumus sebagai berikut:

am/n = a1/n x m = (a1/n)m

Contohnya:

282/3 = 281/3×2 = (281/3)2 = (  )2  = 32 = 9

Contoh di atas merupakan bilangan pangkat pecahan 1/n sama dengan akar pangkat n, sehingga pangkat m/n dipisahkan terlebih dahulu dengan perkalian: 1/n x m.

Contoh Soal Bilangan Berpangkat Pecahan

Contoh Soal 1

Tentukan beberapa bilangan berpangkat pecahan berikut menjadi bentuk akar :

1. 51/2
2. 63/2
3. 127/2

Pembahasan:

1. 51/2 = √5
2. 63/2 = √63
3. 27/2 = √127

Contoh Soal 2

Sederhanakan bentuk-bentuk pecahan berikut ini:

1. 65/2 x 6 3/2
2. 31/2 x 31/2
3. (45/2)3/5

Pembahasan:

1. 65/2 x 63/2 = 6(5/2)+(3/2) = 68/2 =64 = 1296
2. 31/2 x 31/2 = 3(1/2)+(1/2) = 31 = 3
3. (45/2)3/5 = 4(5/2 x 3/5) = 415/10 = 43/2

Contoh Soal 3

Sederhanakan dan nyatakan hasilnya dengan memakai tanda akar:

1. a1/2 x a1/3
2. a1/3 x (a2/3 + a-1/3)

Pembahasan:

1. a1/2 x a1/3 = a(1/2 + 1/3) = a(3/6 + 2/6) = a5/6
2. a1/3 x (a2/3 + a-1/3) = (a1/3 x a2/3) + (a1/3 x a-1/3) = a(1/3 + 2/3) + a(1/3 – 1/3) = a3/3 + a = a1 + 1 = a +1

Contoh Soal 4

Tentukan bilangan-bilangan berikut ini dengan pangkat positif, dan kemudian dengan tanda akar:

1. 2-1/2

1. y-4/3

Pembahasan:

1. 2-1/2 = 1/21/2 = 1/2√2

1. y -4/3 = 1/y4/3 = 1/3√y4 = (1/3√y3) x (1/3√y1) = (1/y) x (1/3√y) = 1/(y3√y)

Contoh Soal 5

Tentukan hasil dari:

(1/2√2) x (3√4) x {4√(1/8)} x {6√(1/2)}

Pembahasan:

= (2-1/2) x (41/3) x {(11/4/81/4)} x {(11/6/21/6)}

= (2-1/2) x {(22)1/3} x (8-1/4) x (2-1/6)

= (2-1/2) x (22/3) x {(23)-1/4} x (2-1/6)

= (2-1/2) x (22/3) x (2-3/4) x (2-1/6)

= 2(-1/2 + 2/3 – 3/4 – 1/6)

=2-9/12 = 2-3/4 =1/ 4√23 = 1/ 4√8