PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN

 Persamaan Eksponen

Persamaan eksponen adalah persamaan yang eksponen dan bilangan pokoknya memuat variabel. Simaklah contoh-contoh berikut ini.

• 4^{2x + 1}  = 32^{x – 3} merupakan persamaan eksponen yang eksponennya memuat variabel x.
• (y + 5)^{5y - 1} = (y + 5)^{5 – y}
    merupakan persamaan eksponen yang eksponen dan bilangan pokoknya memuat variabel y.
• 16^t + 2 . 4^t + 1 = 0 merupakan persamaan eksponen yang eksponennya memuat variabel t.

Ada beberapa bentuk persamaan eksponen ini, di antaranya:
a. a^f(x) = a^m

Jika a^f(x) = a^m, a > 1 dan a ≠ 1, maka f (x) = m

Contoh Soal

Tentukanlah penyelesaian 3 = 27^1-x  

Jawab:

3 = 27^1-x

3 = 3^3(1-x) 

3(1- x) = 1

1 – x = 1/3
x = 2/3

Jadi, penyelesaian 3 = 27^1-x adalah x = 2/3.

b. a^f(x) = ag^(x) 

Jika a^f(x) = ag^(x), a > 1 dan a ≠ 1, maka f (x) = g(x)

Contoh soal

Tentukanlah penyelesaian 25^{x + 3} = 5^{x -1}

Jawab:

25^{x + 3} = 5^{x -1}

5^{2( x + 3)} = 5^{(x -1)}

2 (x + 3) = x – 1

2x + 6 = x – 1

X = – 7

Jadi, penyelesaian 25^{x + 3} = 5^{x- 1} adalah x = 7. 

c. f(x) ^g(x) = f(x) ^h(x)

Jika f(x) ^g(x) = f(x) ^h(x), maka penyelesaiannya adalah sebagai berikut.

• g(x) = h(x)
• f(x) = 1
• f(x) = 0, asalkan g(x) dan h(x) keduanya positif
• f(x) = 1, asalkan g(x) dan h(x) keduanya genap atau keduanya ganjil

d.A(a^f(x))² + B . a^f(x) + C = 0, a > 0, a 1, A, B, C ∈ R, A ≠ 0

Terlebih dahulu, misalkan y = a^f(x). Dari pemisalan ini, diperoleh Ay² + By + C = 0. Nilai y yang kalian peroleh, substitusi kembali pada pemisalan y = a ^f(x) sehingga kalian memperoleh nilai x.

3. Pertidaksamaan Eksponen

Pembahasan kali ini tentang Pertidaksamaan Eksponen. Sebelumnya, kalian telah mengetahui sifat-sifat fungsi eksponen, yaitu sebagai berikut.

• Untuk a>1, fungsi f(x) = a^x merupakan fungsi naik. Artinya, untuk setiap x₁, x₂ ∈ R berlaku x₁ < x₂ jika dan hanya jika f(x₁) < f(x₂).
• Untuk 0 < a < 1, fungsi f(x) = a^x merupakan fungsi turun. Artinya, untuk setiap x₁, x₂  ∈ R berlaku x₁ < x₂ jika dan hanya jika f(x₁) > f(x₂).

Sifat-sifat ini berguna untuk menyelesaikan pertidaksamaan eksponen.

Contoh Soal

Tentukan himpunan penyelesaian

2^{x + 2} > 16 ^{x 2}

Jawab:

2^{x + 2} > 16 ^{x  2}

2^{x + 2} > 2^{4 ( x  2}.⁾

X + 2 > 4 ( x – 2)

X + 2 > 4x – 8

3x < 10

X < 10/3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah HP = { x | x < 10/3, x ∈ R}

Catatan :Himpunan penyelesaian dapat disingkat dengan HP.